Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．D是AC上一点，且AD=2CD，CE⊥BD于H交AB于E．F是AB的中点，BD、CF交于点G，连接EG．下列结论：①BG=CE；②四边形AEGC为等腰梯形；③HG=2HD；④BE=3AE．其中正确的结论有（　　）

• A、4个
• B、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

分析：由点F是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，CF⊥AB，∠FCB=∠BAC=45°，在△ACE中∥∥，∠CEA=90°+∠ECF，在△BGC中∠CGB=90°+∠ECF，∠CEA=∠CGB，又AC=BC，所以△AEC≌△BCG即得证①；由AE=CG，作FM∥AC，则AD=2CD，所以FG=GC，得AE=CG，AE=EF，又得EG∥AC，所以四边形AEGC为等腰梯形（②得证）所以

EG

AC

=

1

2

=

EG

3CD

即

EG

CD

=

3

2

，得

EG

CD

=

HG

HD

=

3

2

③是错误的；由

AE

BE

=

AE

AF+AE

=

AE

3AE

=

1

3

（④得证）．

解答：解：∵点F是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°
∴CF⊥AB，∠FCB=∠BAC=45°
在△ACE中，∠CEA=90°+∠ECF，在△BGC中∠CGB=90°+∠ECF
∴∠CEA=∠CGB
又∵AC=BC
∴△AEC≌△BCG
∴AE=CG，BG=CE（①得证）
由AE=CG，
作FM∥AC
∵AD=2CD，
∴FG=GC，
∴AE=CG，AE=EF，
∴EG∥AC
∴四边形AEGC为等腰梯形（②得证）
∴

EG

AC

=

1

2

=

EG

3CD

即

EG

CD

=

3

2

∴

EG

CD

=

HG

HD

=

3

2

∴③是错误的．
由

AE

BE

=

AE

AF+AE

=

AE

3AE

=

1

3

（④得证）
故选B．

点评：本题考查了等腰直角三角形，综合考查了平行线的与线段的巧妙结合，本题思路性很强．