Question

15．已知：AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD=5，AB=4，BC=8，则△PCD的面积的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 如图，过D作DE⊥BC，交BC于点E，可求得CD=5，过P作⊙O的切线，交AD、BC于点M、N，当MN∥CD时，过N作NF⊥CD，可知此时点P到CD的距离最小，根据切线长定理可求得CN=4，又可证明△DEC∽△NFC，可求得NF，进一步可求得△PDC的面积．

解答 解：
如图，过D作DE⊥BC，交BC于点E，
∵AD=5，BC=8，
∴CE=3，
又DE=AB=4，
∴CD=5，
当点P到CD的距离最小时，△PCD面积有最小值，过P作⊙O的切线，交AD、BC于点M、N，当MN∥CD时，过N作NF⊥CD，
可知此时P到CD的距离最小，
∵AD、BC为⊙O的切线，
∴AD∥BC，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∴CN=MD，MN=CD=5，
设DM=CN=x，则AM=5-x，
∵MN为⊙O的切线，
∴MP=AM=5-x，
∴PN=BN=x，
∴BC=2x，
∴x=4，
即CN=4，
在△DEC和△NFC中
∵∠DEC=∠NFC，∠C=∠C，
∴△DEC∽△NFC，
∴$\frac{DE}{NF}$=$\frac{CD}{NC}$，即$\frac{5}{4}$=$\frac{4}{x}$，解得x=$\frac{16}{5}$，
∴NF=$\frac{16}{5}$，
此时S_△PCD=$\frac{1}{2}$•CD•NF=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{16}{5}$=8，
故选C．

点评 本题主要考查切线的性质和相似三角形的判定和性质，确定出△PCD面积最小时P点的位置并且求得CN的值是解题的关键，注意方程思想的应用．