Question

已知：如图，一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上，并且使一条直角边经过点C，三角板的另一条直角边与AD交于点Q．
（1）请你写出此时图形中成立的一个结论（任选一个）．
（2）当点P满足什么条件时，有AQ+BC=CQ？请证明你的结论．
（3）当点Q在AD的什么位置时，可证得PC=3PQ？并写出论证的过程．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质，以及直角三角形的性质即可判断；
（2）连接CQ，延长QP，交CB的延长线于点E．可证△APQ≌△BPE．即可证得：CQ=CE，据此即可证得；
（3）首先证得：△APQ∽△BCP，然后对三角形的对应边，分两种情况讨论即可求解．

解答：解：（1）△APQ∽△BCP．（答案不唯一）

（2）当P为AB中点时，有AQ+BC=CQ．
证明：连接CQ，延长QP，交CB的延长线于点E．
可证△APQ≌△BPE．
则AQ=BE，PQ=PE．
又因为CP⊥QE，可得CQ=CE，
所以AQ+BC=CQ．

（3）当AQ=

2

9

AD时，有PC=3PQ．
证明：在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=BC=AB．
又因为直角三角板的顶点P在边AB上，
所以∠1+∠2=180°-∠QPC=90°．
因为Rt△CBP中，∠3+∠2=90°，
所以∠1=∠3．
所以△APQ∽△BCP．
所以

PQ

PC

=

AQ

BP

=

AP

BC

．因为AQ=

2

9

AD=

2

9

AB，
所以

2 9 AB

AB-AP

=

AP

AB

．所以AP=

1

3

AB，或AP=

2

3

AB（不合题意，舍去）．
所以

PQ

PC

=

AP

BC

=

AP

AB

=

1

3

．
所以PC=3PQ．

点评：本题主要考查了正方形的性质，以及相似三角形的判定与性质，正确进行讨论是关键．