Question

9．如图，已知等边△ABC，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作⊙O的切线DF交AC于点F，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，过点F作FG⊥AB，垂足为点G，连结GD．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若AB=8，求tan∠FGD的值．

Answer 1

分析 （1）连结OD，DF⊥OD，根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OB，所以∠ODB=60°=∠C，于是可判断OD∥AC，得出DF⊥AC；
（2）由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG∥DE，根据平行线的性质可得∠FGD=∠GDE．解Rt△BDE，得BE=OB=2，DE=$\sqrt{3}$BH=2$\sqrt{3}$．解Rt△AFG，得AG=$\frac{1}{2}$AF=3，则GE=AB-AG-BE=3，于是根据正切函数的定义得到tan∠GDE，则tan∠FGD可求．

解答 （1）证明：如图，

连接OD，
∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∵OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠DOB=60°，
∴∠DOB=∠A，
∴OD∥AC，
∴DF⊥AC．
（2）解：∵FG⊥AB，DE⊥AB，
∴FG∥DE，
∴∠FGD=∠GDE，
由（1）得△OBD是等边三角形，
∴BE=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×4=2．
∴DE=$\sqrt{3}$BE=2$\sqrt{3}$．
在Rt△CFD中，∠C=60°，CD=BC-BD=8-4=4，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=2．
在Rt△AFG中，∠A=60°，
AF=AC-CF=8-2=6，
∴AG=$\frac{1}{2}$AF=3，
在Rt△GDE中．
GE=AB-AG-BE=8-3-2=3，
∴tan∠GDE=$\frac{GE}{DE}$=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴tan∠FGD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质以及解直角三角形等知识，连接圆心与切点的半径是解决问题的常用方法．