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【题目】若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°,我们称这样的凸四边形为完美四边形

1)①在平行四边形、梯形、菱形、正方形中,一定不是完美四边形的有   

②若矩形ABCD完美四边形,且AB4,则BC   

2)如图1完美四边形”ABCD内接于⊙OACBD相交于点P,且对角线AC为直径,AP1PC5,求另一条对角线BD的长;

3)如图2,平面直角坐标系中,已知完美四边形”ABCD的四个顶点A(﹣30)、C 20),B在第三象限,D在第一象限,ACBD交于点O,直线BD的斜率为,且四边形ABCD的面积为15,若二次函数yax2+bx+cabc为常数,且a≠0)的图象同时经过这四个顶点,求a的值.

【答案】1)①菱形、正方形;②4;(2BD2;(3a的值为

【解析】

1)①由菱形、正方形的对角线互相垂直即可判断.

②矩形ABCD对角线相等且互相平分,再加上对角线夹角为60°,即出现等边三角形,所以得到矩形相邻两边的比等于tan60°.由于AB边不确定是较长还是较短的边,故需要分类讨论计算.

2)过O点作OH垂直BD,连接OD,由∠DPC=60°可求得OH,在RtODH中勾股定理可求DH,再由垂径定理可得BD=2DH

3)由BDx轴成60°角可知直线BD解析为y=x,由二次函数图象与x轴交点为AC可设解析式为y=ax+3)(x-2),把两解析式联立方程组,消去y后得到关于x的一元二次方程,解即为点BD横坐标,所以用韦达定理得到xB+xDxBxD进而得到用a表示的(xB-xD2.又由四边形面积可求得xB-xD=6,即得到关于a的方程并解方程求得a

1)①∵菱形、正方形的对角线互相垂直,

∴菱形、正方形不是美丽四边形

故答案为:菱形、正方形.

②设矩形ABCD对角线相交于点O

ACBDAOCOBODO,∠ABC90°

AOBOCODO

∵矩形ABCD美丽四边形

ACBD夹角为60°

i)如图1,若AB4为较短的边,则∠AOB60°

∴△OAB是等边三角形

∴∠OAB60°

RtABC中,tanOAB

BCAB4

ii)如图2,若AB4为较长的边,则∠BOC60°

∴△OBC是等边三角形,

OCB60°

RtABC中,tanOCB

BC

2)过点OOHBD于点H,连接OD

∴∠OHP=∠OHD90°BHDHBD

AP1PC5

∴⊙O直径ACAP+PC6

OAOCOD3

OPOAAP312

∵四边形ABCD美丽四边形

∴∠OPH60°

RtOPH中,sinOPH

OH

RtODH中,DH

BD2DH2

3)过点BBMx轴于点M,过点DDNx轴于点N

∴∠BMO=∠DNO90°

∵直线BD的斜率为

∴直线BD解析式为yx

∵二次函数的图象过点A(﹣30)、C20),即与x轴交点为AC

∴用交点式设二次函数解析式为yax+3)(x2

整理得:ax2+ax6a0

xB+xD=﹣xBxD=﹣6

∴(xBxD2=(xB+xD24xBxD=(﹣2+24

S四边形ABCDSAB+SACDACBM+ACDNACBM+DN)=ACyDyB)=ACxDxB)=xBxD).

xBxD)=15

xBxD6

∴(﹣2+2436

解得:a1a2

a的值为

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