练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    18．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且满足OA=OC=$\frac{5}{2}$OB，△ABC的面积为$\frac{15}{2}$．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）点E是直线AC上方第二象限内一点，点F在AC上，且EF⊥AC，设点E的横坐标为t，EF的长为d，tan∠CAE=$\frac{1}{2}$，用含t的式子表示d；
    （3）在（2）的条件下，连接OE，交抛物线于点H，点Q在x轴上，∠HQA+∠CAE=45°，AE=QH，求点Q的坐标．

    分析 （1）先设出OB长，表示出OA，OC，利用△ABC的面积建立方程求出OA，OB，OC，即可得出点A，B，C的坐标，最好用待定系数法求出抛物线的解析式；
    （2）先利用等腰直角三角形的性质得出EP=-$\sqrt{2}$t，利用三角函数表示出AF，进而表示出PF，再用d表示出EP，建立方程即可得出结论；
    （3）先求出tan∠AEG=$\frac{1}{3}$，在判断出△AEM≌△HQI，进而得出AM=HI=$\frac{1}{3}$EM，即$\frac{OI}{IM}=\frac{1}{2}$设OI=m，则IM=2m，AM=5-3m得出H（-m，5-3m）代入抛物线解析式求出m，即可求出EM=6即可．

    解答 解：（1）设OB=x，则OA=OC=$\frac{5}{2}$x，
    ∵△ABC的面积为$\frac{15}{2}$，
    ∴$\frac{1}{2}$（$\frac{5}{2}$x-x）•$\frac{5}{2}$x=$\frac{15}{2}$
    ∴x=2或-2（舍），
    ∴OA=OC=5，OB=2，
    ∴A（-5，0），B（-2，0），C（0，5），
    设抛物线解析式为y=a（x+5）（x+2）=ax2+7ax+10a，
    ∴10a=5，
    ∴a=$\frac{1}{2}$
    抛物线解析式y=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{7}{2}$x+5；

    （2）如图2，作EM⊥OA于M，延长EF交y轴于P，过P作PN⊥EM于N．
    ∵E的横坐标为t，
    ∴PN=-t，
    ∴∠EPN=90°-∠CPF=45°，
    ∴EP=-$\sqrt{2}$t，
    在Rt△AEF中，EF=d，tan∠CAE=$\frac{1}{2}$，
    ∴AF=2d，
    ∵OA=OC=5，
    ∴AC=5$\sqrt{2}$，∠ACO=45°，
    ∴CF=AC-AF=5$\sqrt{2}$-2d，
    ∵EF⊥AC，∠ACO=45°，
    ∴PF=CF=5$\sqrt{2}$-2d，
    ∴EP=EF+PF=5$\sqrt{2}$-2d=-$\sqrt{2}$t，
    ∴d=5$\sqrt{2}$+2t
    （3）如图3，过点E作EM⊥AB于M交AC于G，
    ∵∠HQA+∠CAE=45°，
    又∵∠AEM+∠CAE=45°，∠HQA+∠CAE=45°，
    ∴∠AEM=∠HQA  
    在△AFG中，FG=EF=d，
    ∴AG=AF-FG=2d-d=d，EG=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$d，
    在等腰直角三角形AMG中，AM=GM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$d，
    ∴EM=EG+GM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$d，
    在Rt△AEM中，tan∠AEG=$\frac{AM}{EM}$=$\frac{1}{3}$，
    过H作HI⊥x轴于I，
    在△AEM和△HQI中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠HIQ=90°}\\{∠AEM=∠HQI}\\{AE=HQ}\end{array}\right.$，
    △AEM≌△HQI，
    ∴EM=QI，AM=HI=$\frac{1}{3}$EM，
    ∴$\frac{OI}{IM}=\frac{1}{2}$
    设OI=m，则IM=2m，AM=5-3m，
    ∴H（-m，5-3m）
    代入抛物线解析式y=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{7}{2}$x+5中，得m1=1，m2=0（舍去），
    ∴I（-1，0），AM=2，
    ∴EM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$d=3AM=6，
    设Q（n，0），
    ∴QI=|-1-n|=|n+1|，
    ∵QI=EM=6，
    ∴n+1=±6，
    ∴n=-7或5，
    ∴Q1（5，0），Q2（-7，0）．

    点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，解（1）的关键是求出点A，B，C的坐标，解（2）的关键是作出辅助线求出PF=CF=5$\sqrt{2}$-2d，解（3）的关键是tan∠AEG=$\frac{AM}{EM}$=$\frac{1}{3}$，是一道综合性比较强的中考常考题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    8．三角形的第一边长为a+b，第二边比第一边长a-5，第三边为2b，那么这个三角形的周长是3a+4b-5．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．如图，在?ABCD中，AD=4，AB=5，延长AD到点E，连接EC过点B作BF∥CE交AD于点F，交CD的延长线于点G．
    （1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
    （2）当DF=1时，四边形BCEF是正方形，说明理由；
    （3）当$\frac{GF}{GD}$=$\frac{4}{5}$时，四边形BCEF是菱形，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    6．【定义】
    圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．
    【概念理解】
    如图1，△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则Rt△ABC 的直角边AC上的伴随圆的半径为2；
    【问题探究】
    如图2，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．
    求证：⊙O是Rt△ABC 斜边AB上的伴随圆；
    【拓展应用】
    如图3，已知等腰△ABC，AB=AC=5，BC=6，直接写出它的所有伴随圆的半径．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB＞AC，射线AM平分∠BAC．
    （1）设AM交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF．有以下三种“判断”：
    判断1：AD垂直平分EF．
    判断2：EF垂直平分AD．
    判断3：AD与EF互相垂直平分．
    你同意哪个“判断”？简述理由；
    （2）若射线AM上有一点N到△ABC的顶点B，C的距离相等，连接NB，NC．
    ①请指出△NBC的形状，并说明理由；
    ②当AB=11，AC=7时，求四边形ABNC的面积．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    3．现有若干张如图1所示的正方形纸片A，B和长方形纸片C．
    （1）小王利用这些纸片拼成了如图2的一个新正方形，通过用两种不同的方法计算新正方形面积，由此，他得到了一个等式：a2+2ab+b2=（a+b）2；
    （2）小王再取其中的若干张纸片（三种纸片都要取到）拼成一个面积为a2+3ab+nb2的长方形，则n可取的正整数值是2，并请你在图3位置画出拼成的长方形；
    （3）根据拼图经验，请将多项式a2+5ab+4b2分解因式．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    10．如图，顶点为C（-1，1）的抛物线经过点D（-5，-3），且与x轴交于点A、B两点（点B在点A的右侧）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）抛物线上存在点Q，使得S△OAQ=$\frac{3}{2}$，求点Q的坐标；
    （3）点M在抛物线上，点N在x轴上，且∠MNA=∠OCD，是否存在点M，使得△AMN与△OCD相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    16．解方程：x2-|x-1|-1=0．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    17．设a，b都是有理数，规定a•b=$\sqrt{a}$+$\root{3}{b}$，则4•8=4．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案