Question

【题目】如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 是边 AB 上的中点，DE 平分∠CDB，且 DE=AC．

（1）求证：CE=AD；

（2）如果AC=BC，求证：四边形BECD 是正方形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）先证明AC∥DE，再由一组对边平行且相等即可证明四边形ACED是平行四边形，从而证明CE=AD；

（2）先证明四边形CDBE是菱形，再由等腰三角形三线合一的性质证明CD⊥BD，从而证明四边形BECD 是正方形．

（1）证明：∵∠ACB=90°，D 是边 AB 上的中点，

∴CD=AD=BD

∴∠ACD=∠A，

∴∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A，

∵DE平分∠CDB

∴∠BDE=，

∴∠A=∠BDE，

∴AC∥DE，

又∵DE=AC，

∴四边形ACED是平行四边形，

∴CE=AD

（2）证明：由（1）可得，四边形ACED是平行四边形，

∴CE∥AD，CE=AD，

∵AD=BD=CD

∴CE=BD=CD

∴四边形CDBE是菱形，

又∵AC=BC，点D是AB中点，

∴CD⊥BD

∴菱形CDBE是正方形．