Question

9．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c过点A（3，0）、B（2，3），其顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上找一点P，使△PAB的周长最小，求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点Q，使△AMQ的面积为8？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A、B的坐标代入函数解析式，根据待定系数法列式求解即可；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，连接BC，交对称轴与P，此时△PAB的周长最小；先求得对称轴，然后求得C的坐标，根据待定系数法求得直线BC的解析式，把x=1代入即可求得P的坐标；
（3）先求得三角形AMC的面积=8，然后过C作AM的平行线，平行线与抛物线的交点即为Q点，求得直线AM的解析式，进而设出平行线的解析式，利用待定系数法即可求得，然后与抛物线的解析式联立方程，解方程组即可求得交点Q的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过点A（3，0）、B（2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式是：y=-x²+2x+3；
（2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为C，连接BC，交对称轴与P，此时△PAB的周长最小；
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴对称轴为x=1，
∵A（3，0），
∴C（-1，0），
设直线BC的解析式为y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{2m+n=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x+1，
把x=1代入得，y=1+1=2，
∴P（1，2）；
（3）存在；
理由：∵S_△AMC=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
过C作AM的平行线，平行线与抛物线的交点即为Q点，
∵A（3，0），M（1，4），
根据待定系数法求得直线AM的解析式为y=-2x+6，
∴设过C作AM的平行线的解析式为y=-2x+k，
把C的坐标代入，解得k=-2，
∴平行线的解析式为y=-2x-2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=5}\\{{y}_{2}=-12}\end{array}\right.$
∴Q点的坐标为（-1，0）或（5，-12）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式，以及二次函数的性质，轴对称-最短路线问题等，待定系数法是本题的关键．