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9.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c过点A(3,0)、B(2,3),其顶点为M.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线对称轴上找一点P,使△PAB的周长最小,求出点P的坐标;
(3)在抛物线上是否存在一点Q,使△AMQ的面积为8?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

分析 (1)把点A、B的坐标代入函数解析式,根据待定系数法列式求解即可;
(2)设抛物线与x轴的另一个交点为C,连接BC,交对称轴与P,此时△PAB的周长最小;先求得对称轴,然后求得C的坐标,根据待定系数法求得直线BC的解析式,把x=1代入即可求得P的坐标;
(3)先求得三角形AMC的面积=8,然后过C作AM的平行线,平行线与抛物线的交点即为Q点,求得直线AM的解析式,进而设出平行线的解析式,利用待定系数法即可求得,然后与抛物线的解析式联立方程,解方程组即可求得交点Q的坐标.

解答 解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0)、B(2,3),
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$,
∴抛物线的解析式是:y=-x2+2x+3;
(2)如图,设抛物线与x轴的另一个交点为C,连接BC,交对称轴与P,此时△PAB的周长最小;
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴对称轴为x=1,
∵A(3,0),
∴C(-1,0),
设直线BC的解析式为y=mx+n,
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{2m+n=3}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$,
∴直线BC的解析式为y=x+1,
把x=1代入得,y=1+1=2,
∴P(1,2);
(3)存在;
理由:∵S△AMC=$\frac{1}{2}$×4×4=8,
过C作AM的平行线,平行线与抛物线的交点即为Q点,
∵A(3,0),M(1,4),
根据待定系数法求得直线AM的解析式为y=-2x+6,
∴设过C作AM的平行线的解析式为y=-2x+k,
把C的坐标代入,解得k=-2,
∴平行线的解析式为y=-2x-2,
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$,$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=5}\\{{y}_{2}=-12}\end{array}\right.$
∴Q点的坐标为(-1,0)或(5,-12).

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式,以及二次函数的性质,轴对称-最短路线问题等,待定系数法是本题的关键.

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借鉴上述“换元法”,解方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z+3}{4}}\\{2x+3y-z=13}\end{array}\right.$.

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