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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，若BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，在线段AD上以每秒2个单位长度的速度向点A运动；动点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．现点P，Q分别从点D，B同时出发，当点P运动到A点时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t（s）．
    （1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形；
    （2）当t为何值时，四边形ABQP是直角梯形；
    （3）是否存在以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据平行四边形的性质，得出AP=BQ，再根据动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，得出PD=2t，BQ=t，从而得出AP=21-2t，解出t的值，即可得出答案；
    （2）先过点B作BE⊥AD，根据AD和BC的值求出AE，再根据BQ=EP=t，AP=2t得出5+t=2t，求出t的值即可；
    （3）过点P作PF⊥BC，分三种情况进行讨论，若PB=PQ，则BF=FQ=
    1
    2
    t，得出5+
    1
    2
    t=21-2t；若PB=PQ，则BP=t，得出122+（16-2t）2=t2，然后进行整理，判断出△＜0，此情况不成立；若PQ=BQ，则PQ=t，求出FQ的值，再根据勾股定理得出122+（3t-16）2=t2，然后进行整理得出△＜0，此情况不成立．
    解答：解：（1）若四边形ABQP是平行四边形，则AP=BQ，
    ∵PD=2t，BQ=t，AD=21，
    ∴AP=21-2t，则21-2t=t，
    解得：t=7，
    ∴当t为7秒时，四边形ABQP是平行四边形；
    （2）如图，过点B作BE⊥AD，垂足为E，
    ∵AD=21，BC=16，
    ∴AE=21-16=5，
    ∵BQ=EP=t，AP=21-2t，
    ∴5+t=21-2t，解得：t=
    16
    3
    ，
    ∴当t为
    16
    3
    秒时，四边形ABQP是直角梯形；
    （3）存在；
    如图，过点P作PF⊥BC，垂足为F，
    若PB=PQ，则BF=FQ=
    1
    2
    t，
    ∵AE=5，EP=BF=
    1
    2
    t，
    ∴5+
    1
    2
    t=21-2t，解得：t=
    32
    5
    ，
    如图：若PB=PQ，则BP=t，
    ∵BC=ED=16，DP=2t，
    ∴EP=16-2t，
    又∵EB=DC=12，
    ∴122+（16-2t）2=t2，
    整理得：3t2-64t+400=0，
    ∵△=642-4×3×400＜0，
    ∴此情况不成立；
    若PQ=BQ，则PQ=t，
    ∵CF=PD=2t，CQ=BC-BQ=16-t，
    ∴FQ=CF-CQ=2t-（16-t）=3t-16，
    ∵PF=DC=12，
    ∴122+（3t-16）2=t2，
    整理得：t2-12t+50=0，
    ∵△=122-4×1×50＜0，
    ∴此情况不成立；
    综上所述，
    32
    5
    秒时，△BPQ是等腰三角形．
    点评：此题考查了四边形的综合，用到的知识点是平行四边形的性质、勾股定理、直角梯形的性质，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形，注意分类讨论的思想．
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    20、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC边上的点．将直角梯形ABCD沿对角线BD折叠，使△ABD与△EBD重合（如图中阴影所示）．若∠A=130°，AB=4cm，则梯形ABCD的高CD≈
    3.1
    cm．（结果精确到0.1cm）

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    精英家教网如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
    （1）求证：△ACD∽△BAC；
    （2）求DC的长；
    （3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．

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    （1998•大连）如图，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，DC⊥BC，且BC=3AD．以梯形的高AE为直径的⊙O交AB于点F，交CD于点G、H．过点F引⊙O的切线交BC于点N．
    （1）求证：BN=EN；
    （2）求证：4DH•HC=AB•BF；
    （3）设∠GEC=α．若tan∠ABC=2，求作以tanα、cotα为根的一元二次方程．

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    （1）求y与x之间的函数关式，并写出自变量x的取值范围；
    （2）在腰BC上求一点F，使梯形ABCD的面积是矩形AEFG的面积的2倍，并求出此时BF的长；
    （3）当∠ABC=60°时，矩形AEFG能否为正方形？若能，求出其边长；若不能，请说明理由．

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    如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=6cm，CD=10cm，AD=5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．
    （1）经过几秒钟，点P、Q之间的距离为5cm？
    （2）连接PD，是否存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由．

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