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【题目】在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(﹣4,0),点B的坐标是(0,b)(b>0),点P是直线AB上的一个动点,记点P关于y轴对称的点为P′.
(1)当b=3时(如图1),

①求直线AB的函数表达式.
(2)②在x轴上找一点Q(点O除外),使△APQ与△AOB全等,直接写出点Q的所有坐标
(3)若点P在第一象限(如图2),设点P的横坐标为a,作PC⊥x轴于点C,连结AP′,CP′.当△ACP′是以点P′为直角顶点的等腰直角三角形时,求出a,b的值.

(4)当线段OP′恰好被直线AB垂直平分时(如图3),直接写出b=

【答案】
(1)

解:设直线AB的函数表达式为y=kx+b,

∵点A的坐标是(﹣4,0),点B的坐标是(0,3)

∴有 ,解得:

故直线AB的函数表达式为y= x+3.


(2)(﹣9,0)、(﹣8,0)或(1,0)
(3)

解:过P′作PD⊥x轴于点D,如图所示.

∵点A的坐标是(﹣4,0),点B的坐标是(0,b)(b>0),

∴直线AB的斜率为 =

即直线AB的解析式为y= x+b.

∵点P在直线AB上,

∴点P的坐标为(a, a+b),则点P′的坐标为(﹣a, a+b),点C的坐标为(a,0),点D的坐标为(﹣a,0),

∴P′D= a+b,AC=a+4,AD=4﹣a.

∵点P为第一象限的点,

∴a>0.

∵△ACP′是以点P′为直角顶点的等腰直角三角形,

∴有 ,即

解得:


(4)
【解析】解:(1)①设直线AB的函数表达式为y=kx+b,
∵点A的坐标是(﹣4,0),点B的坐标是(0,3)
∴有 ,解得:
故直线AB的函数表达式为y= x+3.
②∵点P是直线AB上的一个动点,点Q为x轴上一点(点O除外),
∴设点Q的坐标为(m,0),∠PAQ=∠BAO,
∴AQ=|m+4|.
在Rt△AOB中,AO=4,BO=3,AB= =5.
△APQ与△AOB全等有两种情况:
当AQ=AO时,即|m+4|=4,
解得:m=0(舍去),或m=﹣8,
此时点Q的坐标为(﹣8,0);
当AQ=AB时,即|m+4|=5,
解得:m=﹣9,或m=1,
此时点Q的坐标为(﹣9,0)或(1,0).
综上所述:点Q的所有坐标为(﹣9,0),(﹣8,0)或(1,0).
所以答案是:(﹣9,0),(﹣8,0)或(1,0).(4)由(3)可知:点P的坐标为(a, a+b),则点P′的坐标为(﹣a, a+b),直线AB的解析式为y= x+b.
则OP′的中点坐标为(﹣ ),直线OP′的斜率为 =﹣
∵线段OP′恰好被直线AB垂直平分,
∴有
解得: ,或 (舍去).
所以答案是:

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