Question

9．已知关于x的一元二次方程x²-（k+1）x+k-3=0
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两根为x₁，x₂，求出当$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$=-4时k的值．

Answer 1

分析 （1）由△=b²-4ac=（k-1）²+12＞0，即可判定无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系，可得x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=k-3，又由$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$=-4，可得$\frac{（{k+1）}^{2}-2（k-3）}{k-3}$=-4，即可求得k的值．

解答 （1）证明：∵a=1，b=-（k+1），c=k-3，
∴△=b²-4ac=[-（k+1）]²-4×1×（k-3）=k²+2k+1-4k+12=k²-2k+13=（k-1）²+12＞0，
∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=k-3，
∴$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$=$\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{{x}_{1}+{x}_{2}）}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{k+1）}^{2}-2（k-3）}{k-3}$=-4，
解得：k₁=$\sqrt{10}$-2，k₂=-$\sqrt{10}$-2．

点评 此题考查了根的判别式．注意一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．