Question

市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示：
（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润=销售额-生产成本-员工工资-其它费用），该公司可安排员工多少人？
（3）若该公司有80名员工，求出公司月利润W（万元）与x（元）之间的函数关系式；并说明该公司最早可在几个月后还清贷款．

Answer 1

⑴ 当40＜x≤60时， 
当60＜x＜100时，.
⑵假设公司可安排员工a人，定价50元时，
由5=(-0.1x+8)(x-40)-15-0.25a得a=40(人)
⑶当40＜x≤60时，
月利润W=(-0.1x＋8)(x-40)-15-0.25×80
=-0.1x²+12x-355=-0.1(x-60)²+5
所以当x=60,利润最大为5，则公司最早可在16个月还清.
当60＜x＜100时，
月利润W=（-0.05x＋5)（x-40）－15－0.25a
=-0.05x²+7x-235=-0.05(x-70)²+10
∴x＝70时,利润最大为10（万元），此时最早还款时间为8个月
∴要尽量还清贷款，只有当单价x＝70元时，获得最大月利润10万元，还款最早为8个月. 

（1）从图中看，这是一个分段一次函数，40＜x≤60和60＜x＜100时，函数的表达式不同，每段函数都经过两点，使用待定系数法即可求出函数关系式；
（2）利用（1）中的函数关系，当销售单价定为50元时，可计算出月销售量，设可安排员工m人，利润=销售额一生产成本-员工工资-其它费用，列出方程即可解；
（3）先分情况讨论出利润的最大值，即可求解．