Question

【题目】如图1．已知⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A、B两点的横坐标分别为﹣1和7，弦AB的弦心距MN为3，

（1）求⊙M的半径；

（2）如图2，P在弦CD上，且CP＝2，Q是弧BC上一动点，PQ交直径CF于点E，当∠CPQ＝∠CQD时，

①判断线段PQ与直径CF的位置关系，并说明理由；

②求CQ的长；

（3）如图3．若P点是弦CD上一动点，Q是弧BC上一动点，PQ交直径CF于点E，当∠CPQ与∠CQD互余时，求△PEM面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）①PQ⊥CF；详见解析；②4；（3）△PEM面积的最大值为3

【解析】

（1）连接MB，根据题意得出AB=8，再结合垂径定理可得BN=4，最后进一步利用勾股定理计算求解即可；

（2）①连接DF，由圆周角定理得出∠CDF=90°，由此进一步证明∠CEP＝90°即可；②作MN⊥AB于N，MG⊥CD于G，延长QP交⊙M于H，从而通过分析可得AN=4，MN=3,MG=ON=3，再者得出MN=MG，进一步证明CD=AB=8，然后利用勾股定理求得DF=6，接着证明△CPE与△CFD相似，利用相似三角形性质得出CE与PE的长，从而求出EF，最后在此基础上进一步分析求解即可；

（3）先证出∠DCF=∠CPQ，得出CE=PE，再作EK⊥CP于K，PT⊥CM于T，连接DF，则CK＝PK，，据此设EK＝3x，则CK＝4x，CE＝PE＝5x，PC＝8x，接着证明△CPT~△CFD，利用相似三角形性质得出PT＝，CT＝，最后根据三角形面积公式得到△PEM的面积，由此利用二次函数的性质进一步求解即可.

（1）连接MB，如图1所示：

∵A、B两点的横坐标分别为和7，

∴AB＝8，

∵MN⊥AB，

∴BN＝4，

在Rt△BMN中，由勾股定理得：

，

∴⊙M的半径为5；

（2）①PQ⊥CF；理由如下：

连接DF，如图2所示，

∵CF是⊙M的直径，

∴∠CDF＝90°，

∴∠CFD+∠DCF＝90°，

∵∠CQD＝∠CFD，

∴∠CQD+∠DCF＝90°，

∵∠CPQ＝∠CQD，

∴∠CPQ+∠DCF＝90°，

∴∠CEP＝90°，

∴PQ⊥CF；

②作MN⊥AB于N，MG⊥CD于G，延长QP交⊙M于H，如图3所示：

则AN＝4，MN＝3，MG＝ON＝3，

∴MN＝MG，

∴CD＝AB＝8，

在Rt△CDF中，CF＝2BM＝10，，

由①得：PQ⊥CF，

∴∠CEP＝∠CDF＝90°，EH＝EQ，

∵∠PCE＝∠FCD，

∴△CPE~△CFD，

∴，

即，

解得：CE＝，PE＝，

∴EF＝CFCE＝，

∵EQ×EH＝CE×EF，即，

在Rt△CPE中，由勾股定理得：；

（3）∵CF是⊙M的直径，

∴∠CDF＝90°，

∴∠F+∠DCF＝90°，

∵∠CQD＝∠F，

∴∠CQD+∠DCF＝90°，

∵∠CPQ+∠CQD＝90°，

∴∠DCF＝∠CPQ，

∴CE＝PE，

作EK⊥CP于K，PT⊥CM于T，再连接DF，如图4所示，

则CK＝PK，，

设EK＝3x，则CK＝4x，CE＝PE＝5x，PC＝8x，

∵∠PCT=∠DCF，∠CTP=∠CDF=90°，

∴△CPT~△CFD，

∴，

∴PT＝，CT＝，

∴△PEM的面积，

∵，

∴S有最大值，且当时，S的最大值为3，

即△PEM面积的最大值为3．