Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．

（1）求抛物线的表达式；

（2）求△ABC的面积；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；（2）10；（3）存在，M1（，11），M2（，﹣），M3（，﹣2），M4（，﹣﹣2）.

【解析】

（1）将点A，B代入y＝ax2+bx﹣4即可求出抛物线解析式；

（2）在抛物线y＝x2﹣x﹣4中，求出点C的坐标，推出BC∥x轴，即可由三角形的面积公式求出△ABC的面积；

（3）求出抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴，然后设点M（，m），分别使∠AMB＝90°，∠ABM＝90°，∠AMB＝90°三种情况进行讨论，由相似三角形和勾股定理即可求出点M的坐标．

解：（1）将点A（﹣3，0），B（5，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣4，

得，

解得，，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣4；

（2）在抛物线y＝x2﹣x﹣4中，

当x＝0时，y＝﹣4，

∴C（0，﹣4），

∵B（5，﹣4），

∴BC∥x轴，

∴S△ABC＝BCOC

＝×5×4

＝10，

∴△ABC的面积为10；

（3）存在，理由如下：

在抛物线y＝x2﹣x﹣4中，

对称轴为：，

设点M（，m），

①如图1，

当∠M1AB＝90°时，

设x轴与对称轴交于点H，过点B作BN⊥x轴于点N，

则HM1＝m，AH＝，AN＝8，BN＝4，

∵∠AM1H+∠M1AN＝90°，∠M1AN+∠BAN＝90°，

∴∠M1AH＝∠BAN，

又∵∠AHM1＝∠BNA＝90°，

∴△AHM1∽△BNA，

∴，

即，

解得，m＝11，

∴M1（，11）；

②如图2，

当∠ABM2＝90°时，

设x轴与对称轴交于点H，BC与对称轴交于点N，

由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分BC，

∴M2C＝M2B，

∴∠BM2N＝∠AM2N，

又∵∠AHM2＝∠BNM2＝90°，

∴△AHM2∽△BNM2，

∴，

∵HM2＝﹣m，AH＝，BN＝，M2N＝﹣4﹣m，

∴，

解得，，

∴M2（，﹣）；

③如图3，

当∠AMB＝90°时，

设x轴与对称轴交于点H，BC与对称轴交于点N，

则AM2+BM2＝AB2，

∵AM2＝AH2+MH2，BM2＝BN2+MN2，

∴AH2+MH2+BN2+MN2＝AB2，

∵HM＝﹣m，AH＝，BN＝，MN＝﹣4﹣m，

即，

解得，m1＝﹣2，m2＝﹣﹣2，

∴M3（，﹣2），M4（，﹣﹣2）；

综上所述，存在点M的坐标，其坐标为M1（，11），M2（，﹣），M3（，﹣2），M4（，﹣﹣2）．