Question

已知二次函数y=x²-2mx+4m-8

（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；
（2）以抛物线y=x²-2mx+4m-8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在抛物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）若抛物线y=x²-2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值。

Answer 1

解：（1），
∴由题意得，m≥2；
（2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知MN⊥y轴，设抛物线的对称轴与MN交于点B，则AB=，
设M（a，b）
∴BM=a-m（m<a），
又AB====
∴，
∴a-m=，
∴BM=，AB=3，
∴定值；
（3）令y=0，即时，有，
由题意，为完全平方数，令，即，
∵m，n为整数，∴n+m-2，n-m+2的奇偶性相同，
∴或，
解得或，
综合得m=2。