Question

9．设a，b是实数，且$\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+b}=\frac{1}{b-a}$，则$\frac{1+b}{1+a}-\frac{1+a}{1+b}$的值是（　　）

• A． 3
• B． -3
• C． 3（b-a）
• D． 无法确定

Answer 1

分析 设1+a=x，1+b=y，则b-a=y-x，原方程可化为$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{y-x}$，整理得，y²-3xy+x²=0，两边同除以x²，求出$\frac{y}{x}$的值，再代入代数式进行计算即可．

解答 解：∵设1+a=x，1+b=y，则b-a=y-x，
∴原式可化为$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{y-x}$，整理得y²-3xy+x²=0，两边同除以x²得$\frac{y}{x}$=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{1+b}{1+a}$=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{1+b}{1+a}$-$\frac{1+a}{1+b}$=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$-$\frac{2}{3±\sqrt{5}}$=3．
故选A．

点评 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．