Question

如图，△OP₁A₁，△A₁P₂A₂，△A₂P₃A₃…都是等腰直角三角形，直角顶点P₁，P₂，P₃…都在函数（x＞0）的图象上，若三角形依次排列下去，则A₂₀₀₉的坐标是________．

Answer 1

（4，0）
分析：由于△OP₁A₁是等腰直角三角形，可知直线OP₁的解析式为y=x，将它与联立，求出方程组的解，得到点P₁的坐标，则A₁的横坐标是P₁的横坐标的两倍，从而确定点A₁的坐标；由于△P₁OA₁，△P₂A₁A₂都是等腰直角三角形，则A₁P₂∥OP₁，直线A₁P₂可看作是直线OP₁向右平移OA₁个单位长度得到的，因而得到直线A₁P₂的解析式，同样，将它与联立，求出方程组的解，得到点P₂的坐标，则P₂的横坐标是线段A₁A₂的中点，从而确定点A₂的坐标；依此类推，从而确定点A₂₀₀₉的坐标．
解答：解：过P₁作P₁B₁⊥x轴于B₁，
易知B₁（2，0）是OA₁的中点，
∴A₁（4，0）．
可得P₁的坐标为（2，2），
∴P₁O的解析式为：y=x，
∵P₁O∥A₁P₂，
∴A₁P₂的表达式与P₁O的解析式一次项系数相等，
将A₁（4，0）代入y=x+b，
∴b=4，
∴A₁P₂的表达式是y=x+4，
与（x＞0）联立，解得P₂（2+2，-2+2）．
仿上，A₂（4，0）．
P₃（2+2，-2+2 ），A₃（4，0）．
依此类推，点A₂₀₀₉的坐标是（4，0）．
故答案为：（4，0）．
点评：本题考查了反比例函数的综合应用，解决此题的关键是要根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数的解析式进行求解．