Question

20．已知：关于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0　（k是整数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别是x₁，x₂（其中x₁＜x₂），设y=x₂-x₁-2，试问y与k的积是否发生变化？说明理由．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值得到△=4k²-4k+1，配方得△=（2k-1）²，由于k为整数，则根据非负数的性质可得△＞0，于是根据判别式得意义可判断方程有两个不相等的实数根；
（2）利用求根公式可求得x₁=1+$\frac{1}{k}$，x₂=3，则y=x₂-x₁-2=-$\frac{1}{k}$，于是可计算出y•k=-1，即y与k的积为定值．

解答 （1）证明：根据题意得k≠0，
△=（4k+1）²-4•k•（3k+3）
=4k²-4k+1
=（2k-1）²，
∵k为整数，
∴（2k-1）²＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）y与k的积不发生变化．理由如下：
∵x=$\frac{4k+1±（2k-1）}{2k}$，
∴x₁=1+$\frac{1}{k}$，x₂=3，
∴y=x₂-x₁-2=3-1-$\frac{1}{k}$-2=-$\frac{1}{k}$，
∴y•k=-1．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．