Question

如图，已知，已知点I是△ABC的内心，射线AI交△ABC的外接圆于点D，交边BC于点E．

(1)ID与BD有何数量关系？为什么？

(2)设△ABC的外接圆半径r＝3，ID＝2，AD＝x，DE＝y，当点A在优弧上运动时，求函数y与自变量x的关系式，并指出自变量的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

[答案](1)ID＝BD．理由如下： 　　连接BI．∵I是△ABC的内心．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． 　　又∵∠5＝∠4，∴∠5＝∠3．∴∠5＋∠2＝∠3＋∠1，即∠DBI＝∠DIB．∴DB＝DI． 　　(2)在△ABD和△BDE中， 　　∵∠3＝∠5，∠ADB＝∠BDE，∴△ABD∽△BDE． 　　∴＝，又BD＝ID．∴ID2＝AD·DE． 　　∵ID＝2，AD＝x，DE＝y．∴xy＝4，即y＝． 　　∵∠ABD＞∠5＝∠3，∴AD＞BD．又AD≤2R，∴BD＜AD≤2R．即2＜x≤6． 　　∴自变量x的取值范围是2＜x≤6． 　　[剖析](1)主要考查三角形内心的概念，由于三角形的内心是它的三个角平分线的交点，故连接BI后，会得到∠1＝∠2及∠3＝∠4．结合圆周角的性质及三角形外角的性质，得到∠DBI＝∠DIB，从而得到DI＝DB；(2)则寻找三角形相似，运用成比例线段建立x、y之间的关系．由于BD＝DI，又BD、DE是△BDE的边，BD、AD是△ABD的边，故不难想到要判断这两个三角形相似．