如图.在平面直角坐标系中.二次函数y=x2+bx+c的图象与X轴交于点A.B两点B处的坐标为.点P是直线BC下方抛物线上的动点．(1)求出二次函数的解析式,(2)连接PO.PC.并将△POC沿y轴对折.得到四边形POP′C.那么是否存在点P.使得四边形POP′C为菱形?若存在.求出点P的坐标.若存在.请说明理由,(3)当点P运动到什么位置时.四边形ABPC的面积最大?求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

6．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与X轴交于点A、B两点B处的坐标为（3，0），与y轴交于c（0，-3），点P是直线BC下方抛物线上的动点．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，求出点P的坐标，若存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P的坐标和四边形ABPC的最大面积．

分析（1）直接把B（3，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c可得到关于b、c的方程组，解方程组求即可．
（2）作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，则PO=PC，根据翻折的性质得OP′=OP，CP′=CP，易得四边形POP′C为菱形，又E点坐标为（0，-$\frac{3}{2}$），则点P的纵坐标为-$\frac{3}{2}$，再把y=-$\frac{3}{2}$代入y=x²-2x-3可求出对应x的值，然后确定满足条件的P点坐标．
（3）如图2中，作PF⊥x轴于F点，交BC于E点，BC的解析式为y=x-3，设E（m，m-3），P′（m，m²-2m-3）．根据S_△BCP=S_△BEP+S_CEP=$\frac{1}{2}$PE×FB+$\frac{1}{2}$EP•OF
=$\frac{1}{2}$EP•OB，构建二次函数，求出△PBC的面积的最大值，即可解决问题．

解答解：（1）把B（3，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴这个二次函数的表达式为y=x²-2x-3；

（2）存在．理由如下：

如图1中，作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E．
则PO=PC，
∵△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，
∴OP′=OP，CP′=CP，
∴OP′=OP=CP′=CP，
∴四边形POP′C为菱形，
∵C点坐标为（0，-3），
∴E点坐标为（0，-$\frac{3}{2}$），
∴点P的纵坐标为-$\frac{3}{2}$，
把y=-$\frac{3}{2}$代入y=x²-2x-3得x²-2x-3=-$\frac{3}{2}$，
解得x=$\frac{2±\sqrt{10}}{2}$，
∵点P在直线BC下方的抛物线上，
∴x=$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，
∴满足条件的点P的坐标为（ $\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

（3）如图2中，作PF⊥x轴于F点，交BC于E点，BC的解析式为y=x-3，设E（m，m-3），P（m，m²-2m-3）．
，
PE=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
S_△BCP=S_△BEP+S_CEP=$\frac{1}{2}$PE×FB+$\frac{1}{2}$EP•OF
=$\frac{1}{2}$EP•OB
=$\frac{1}{2}$×3[-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$]
=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，S_最大=$\frac{27}{8}$，
此时P（ $\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
∵四边形ACPB的面积=△ABC的面积+△PBC的面积，△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×4×3=6=定值，
∴当△PBC的面积最大时，四边形ACPB的面积最大，最大值为6+$\frac{27}{8}$=$\frac{75}{8}$．

点评本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，学会构建二次函数最值问题，属于中考压轴题．

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科目：初中数学 来源： 题型：解答题

16．阅读下列材料：计算5÷（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$）
解法一：原式=5÷$\frac{1}{3}$-5÷$\frac{1}{4}$+5÷$\frac{1}{12}$
=5×3-5×4+5×12
=55
解法二：原式=5÷（$\frac{4}{12}$-$\frac{3}{12}$+$\frac{1}{12}$）
=5÷$\frac{1}{6}$
=5×6
=30
解法三：原式的倒数=（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$）÷5
=（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$）×$\frac{1}{5}$
=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{12}$×$\frac{1}{5}$
=$\frac{1}{30}$
∴原式=30
（1）上述的三种解法中有错误的解法，你认为解法一是错误的
（2）通过上述解题过程，请你根据解法三计算（-$\frac{1}{42}$）÷（$\frac{1}{6}$-$\frac{3}{14}$-$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{7}$）

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