Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AD=3，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，

∵PE是⊙O的切线，

∴OC⊥PE，

∵AE⊥PE，

∴OC∥AE，

∴∠DAC=∠OCA，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠DAC=∠OAC，

∴AC平分∠BAD

（2）解：线段PB，AB之间的数量关系为：AB=3PB．

理由：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠ABC=90°，

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠ABC，

∵∠PCB+∠OCB=90°，

∴∠PCB=∠PAC，

∵∠P是公共角，

∴△PCB∽△PAC，

∴ ，

∴PC2=PBPA，

∵PB：PC=1：2，

∴PC=2PB，

∴PA=4PB，

∴AB=3PB

（3）解：过点O作OH⊥AD于点H，则AH= AD= ，四边形OCEH是矩形，

∴OC=HE，

∴AE= +OC，

∵OC∥AE，

∴△PCO∽△PEA，

∴ ，

∵AB=3PB，AB=2OB，

∴OB= PB，

∴ = ，

∴OC= ，

∴AB=5，

∵△PBC∽△PCA，

∴ ，

∴AC=2BC，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

∴（2BC）2+BC2=52，

∴BC= ，

∴AC=2 ，

∴S△ABC= ACBC=5．

【解析】（1）首先连接OC，由PE是⊙O的切线，AE和过点C的切线互相垂直，可证得OC∥AE，又由OA=OC，易证得∠DAC=∠OAC，即可得AC平分∠BAD；（2）由AB是⊙O的直径，PE是切线，可证得∠PCB=∠PAC，即可证得△PCB∽△PAC，然后由相似三角形的对应边成比例与PB：PC=1：2，即可求得答案；（3）首先过点O作OH⊥AD于点H，则AH= AD= ，四边形OCEH是矩形，即可得AE= +OC，由OC∥AE，可得△PCO∽△PEA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OC的长，再由△PBC∽△PCA，证得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ， 可得（2BC）2+BC2=52 ， 即可求得BC的长，继而求得答案．