Question

2．三角形三条边a，b，c同时满足a²+2b-12c+15=0，①a+2b-6c+9=0，②若最大边a是整数，求a，b，c的值．

Answer 1

分析 由①②消去b得$\frac{1}{6}$（a²-a+6）=c，根据c≤a得$\frac{1}{6}$（a²-a+6）≤a，求得a的范围是1≤a≤6，再由①②消去c得$\frac{1}{2}$（a²-2a-3）=b，根据b≤a得$\frac{1}{2}$（a²-2a-3）≤a，求得a的范围，继而可得-1≤a≤5，在此范围内分别计算出a=5、4、3、2、1、0时的值，结合三角形三边间的关系取舍可得．

解答 解：∵（a²+2b-12c+15）-（a+2b-6c+9）=0，即a²-a+6-6c=0，
∴$\frac{1}{6}$（a²-a+6）=c，
∵c≤a 
∴$\frac{1}{6}$（a²-a+6）≤a，即a²-7a+6≤0，
则（a-1）（a-6）≤0，
∴1≤a≤6，
∵（a²+2b-12c+15）-2（a+2b-6c+9）=0，即a²-2a-3-2b=0，
∴$\frac{1}{2}$（a²-2a-3）=b，
∵b≤a
∴$\frac{1}{2}$（a²-2a-3）≤a，即a²-4a-5≤0，
则（a-5）（a+1）≤0
∴-1≤a≤5，
当a=5时，b=4，c=$\frac{13}{3}$，符合题意；
当a=4时，b=$\frac{5}{2}$，c=3，符合题意；
当a=3时，b=0，舍去；
当a=2时，b=-$\frac{3}{2}$，舍去；
当a=1时，b=-2，舍去；
当a=0时，b=-$\frac{3}{2}$，舍去；
综上，a=5，b=4，c=$\frac{13}{3}$或a=4，b=$\frac{5}{2}$，c=3．

点评 本题主要考查因式分解的应用、一元二次不等式的求解等知识点，根据题意得出a的范围是解题的关键．