Question

已知抛物线y=-x²+（1-2a）x-a²（a≠0），与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0），（x₁＜x₂）．
（1）求a的取值范围，并说明A、B两点都在y轴的右侧；
（2）若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB=3OC，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由于抛物线与x轴有两个不同的交点，那么根的判别式△＞0，可据此求出a的取值范围；
根据韦达定理即可求出x₁+x₂及x₁x₂的值，根据所求的a的取值范围来判断上述两式的符号，进而可证得所求的结论；
（2）根据抛物线的解析式，易得到C点的坐标，然后根据韦达定理用a表示出OA+OB及OC的长，进而根据题目给出的等量关系式求出a的值．

解答：解：（1）已知抛物线y=-x²+（1-2a）x-a²（a≠0），
与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0）；
∴设y=0，-x²+（1-2a）x-a²=0，
即：x²-（1-2a）x+a²=0
∴△=[-（1-2a）]²-4×a²＞0，
∴a＜

1

4

且a≠0，
∴2a＜

1

2

；
∵x₁+x₂=1-2a＞0，x₁x₂=a²＞0，
∴A、B两点都在y轴的右侧；

（2）∵A、B两点都在y轴的右侧，
∴OA=x₁，OB=x₂；
设x=0，则y=-a²，
∴C点坐标为（0，-a²），
∴OC=a²；
∵OA+OB=3OC，
∴1-2a=3a²，
∴a₁=

1

3

，a₂=-1；
∵a＜

1

4

且a≠0，
∴a=-1．

点评：此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、根与系数的关系等知识的综合应用能力．