Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，且A（2，0）、B（3，3），BC交y轴于M，

（1）求点C的坐标；

（2）连接AM，求△AMB的面积；

（3）在x轴上有一动点P，当PB+PM的值最小时，求此时P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）C的坐标是（﹣1，1）；（2）；（3）点P的坐标为（1，0）．

【解析】

（1）作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，证明≌，根据全等三角形的性质得到CD＝AE，AD＝BE，求出点C的坐标；

（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，得到OM的长，根据梯形的面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案；

（3）根据轴对称的最短路径问题作出点P，求出直线B的解析式，根据x轴上点的坐标特征求出点P的坐标．

解：（1）如图，作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，

∴∠CAD+∠DCA＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠CAD+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠ACD，

在和中，

，

∴≌（AAS），

∴CD＝AE，AD＝BE，

∵A（2，0）、B（3，3），

∴OA＝2，OE＝BE＝3，

∴CD＝AE＝1，OD＝AD﹣OA＝1，

∴C的坐标是（﹣1，1）；

（2）如图，作BE⊥x轴于E，

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

∵B点的坐标为（3，3），C点的坐标是（﹣1，1），

∴，

解得，，

∴直线BC的解析式为y＝x+，

当x＝0时，y＝，

∴OM＝，

∴的面积＝梯形MOEB的面积﹣的面积﹣的面积

＝×（+3）×3﹣×2×﹣×1×3

＝；

（3）如图，作M关于x轴的对称点（0，﹣），连接B，交x轴于点P，此时PB+PM=PB+P=B的值最小，

设直线B的解析式为y＝mx+n，

则，

解得，，

∴直线B的解析式为y＝x﹣，

点P在x轴上，当y＝0时，x＝1，

∴点P的坐标为（1，0）．