Question

已知平行于x轴的直线y=a（a≠0）与函数y=x和函数y=

1

x

的图象分别交于点A和点B，又有定点P（2，0）．
（1）若a＞0，且tan∠POB=

1

9

，求线段AB的长；
（2）在过A，B两点且顶点在直线y=x上的抛物线中，已知线段AB=

8

3

，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；
（3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到y=

9

5

x²的图象，求点P到直线AB的距离．

Answer 1

分析：（1）设B点坐标为（m，n），利用三角函数求出m与n的值以及点A的坐标．
（2）依题意可知抛物线开口向下，设点A（a，a），B（

1

a

，a）求出a值．设二次函数为y=k（x+

5

3

)2把点A代入求得k值以及函数解析式．
（3）依题意可求出抛物线的对称轴为x=

a

2

+

1

2a

．把点A的坐标代入解析式求出a值．

解答：解：（1）设第一象限内的点B（m，n），
则tan∠POB=

n

m

=

1

9

，
得m=9n，
又点B在函数y=

1

x

的图象上，得n=

1

m

，
所以m=3（-3舍去），
点B为（3，

1

3

），
而AB∥x轴，所以点A（

1

3

，

1

3

），
所以AB=3-

1

3

=

8

3

．

（2）由条件可知所求抛物线开口向下，
设点A（a，a），B（

1

a

，a），
则AB=

1

a

-a=

8

3

，
所以3a²+8a-3=0，
解得a=-3或a=

1

3

．
当a=-3时，点A（-3，-3），B（-

1

3

，-3），
因为顶点在y=x上，
所以顶点为（-

5

3

，-

5

3

），
所以可设二次函数为y=k（x+

5

3

）²-

5

3

，
点A代入，解得k=-

3

4

，
所以所求函数解析式为y=-

3

4

（x+

5

3

）²-

5

3

同理，当a=

1

3

时，所求函数解析式为y=-

3

4

（x-

5

3

）²+

5

3

；

（3）设A（a，a），B（

1

a

，a），由条件可知抛物线的对称轴为x=

a

2

+

1

2a

，
设所求二次函数解析式为：y=

9

5

（x-2）（x-（a+

1

a

）+2），
点A（a，a）代入，
解得a₁=3，a2=

6

13

，
所以点P到直线AB的距离为3或

6

13

．

点评：本题考查的是二次函数的综合运用，较为复杂．