Question

1．如图，C是半圆O的直径AB上的一个动点（不与A，B重合），过C作AB的垂线交半圆于点D，以点D，C，O为顶点作矩形DCOE．若AB=10，设AC=x，矩形DCOE的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 按点C在半径OA或半径OB上两种情况分类讨论；首先运用射影定理求出DC的长度，借助矩形的面积公式即可求得y与x的函数关系．

解答 解：根据题意结合图形，分情况讨论：
如图，①当点C在半径OA上时，连接AD、BD；
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，而DC⊥AB，
∴DC²=AC•BC，而AC=x，BC=10-x，
∴DC=$\sqrt{-{x}^{2}+10x}$，而OC=5-x，
∴y=（5-x）$\sqrt{-{x}^{2}+10x}$；
②当点C在半径OB上，即点C′的位置时，
同理可求：y=（x-5）$\sqrt{-{x}^{2}+10x}$，
综上所述，y与x的函数关系式为：
y=$\left\{\begin{array}{l}{（5-x）\sqrt{-{x}^{2}+10x，}（0＜x＜5）}\\{（x-5）\sqrt{-{x}^{2}+10x，}（5＜x＜10）}\end{array}\right.$．
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示．
故选：A．

点评 该题主要考查了圆周角定理及其推论、射影定理、矩形的面积公式等几何知识点及其应用问题；作辅助线，牢固掌握圆周角定理及其推论、射影定理等几何知识点是解题的关键．