Question

7．矩形ABCD的对角线相交于点O，若矩形的周长为24cm，△AOB与△BOC的周长差为4cm，则BD长为4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由矩形的性质和已知条件得出AB-BC=4，AB+BC=12，求出AB、BC，根据勾股定理即可求出BD．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AB=CD，BC=AD，OA=OB=OC=OD，
∵△AOB与△BOC的周长差为4cm，
∴（OA+OB+AB）-（OB+OC+BC）=4，
∴AB+BC=4①，
∵矩形ABCD的周长为24cm，
∴AB+BC=12②，
由①②得：AB=8，BC=4，
∴AD=4，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$；
故答案为：4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形的周长；由矩形的性质和已知条件得出边长之间的数量关系，从而求出边长是解决问题的关键．