Question

如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，OA=2，OC=4，过点E的反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象与边BC交于点F．
（1）若△OAE的面积为1，求反比例函数的解析式；
（2）若点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大，其最大值为多少？

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：计算题

分析：（1）根据三角形AOE面积为1，由OA的长求出AE的长，确定出E坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）根据矩形OABC，以及OA与OC的长，设出E坐标，进而表示出BE与BF，表示出三角形BEF的面积，由矩形OABC面积减去三角形BEF面积减去三角形OCF面积，表示出四边形OAEF面积，利用二次函数的性质求出四边形OAEF面积的最大值，以及此时k的值，确定出E的位置即可．

解答：解：（1）∵在矩形ABCD中，∠OAE=90°，
∵S_△OAE=

1

2

OA•AE=

1

2

×2AE=1，
∴AE=1，即点E的坐标为（1，2），
∵点E在反比例函数y=

k

x

上，
把E（1，2）代入y=

k

x

得，k=2，
∴反比例函数的解析式为y=

2

x

；
（2）根据四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，设E（

k

2

，2），F（4，

k

4

），
∴BE=4-

k

2

，BF=2-

k

4

，
∴S_△BEF=

1

2

（4-

k

2

）（2-

k

4

）=

1

16

k²-k+4，
∵S_△OCF=

1

2

×4×

k

4

=

k

2

，S_矩形OABC=8，
∴S_{四边形OAEF}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF=8-（

1

16

k²-k+4）-

k

2

=-

1

16

k²+

k

2

+4=-

1

16

（k-4）²+5，
∴当k=4时，S_{四边形OAEF}=5，此时AE=2，
当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．