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11.等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC中点,点F为AC边上一动点
(1)如图1,若E为BF中点,连接DE,BF=13,AB=12,求DE的长度;
(2)如图2,若F为AC中点,过A点作AG⊥BF垂足为点E,交BC于点G,取CG中点M,连接FM,FG,请判断BF,FM,FG之间的数量关系并证明;
(3)当点F在AC上运动时,保持AG⊥BF垂足为点E,连接DE,∠DEG的度数会发生改变吗?如果不变请直接写出∠DEG的度数,如果改变请说明理由.

分析 (1)由勾股定理求出AF=$\sqrt{B{F}^{2}-A{B}^{2}}$=5,得出CF=AC-AF=7,证明DE是△BCF的中位线,由三角形中位线定理得出DE=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{7}{2}$即可;
(2)由已知得出AF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB,得出tan∠AFB=$\frac{AB}{AF}$=2,由直角三角形的性质得出∠BAE=∠AFB,得出tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$=tan∠AFB=$\frac{AE}{EF}$=2,设EF=x,则AE=2x,BE=4x,BF=5x,证明FM是△ACG的中位线,由三角形中位线定理得出FM∥AG,FM=$\frac{1}{2}$AG,证出△BEG∽△BFM,得出$\frac{EG}{FM}=\frac{BE}{BF}$=$\frac{4}{5}$,设EG=4y,则FM=5y,由三角形中位线定理得出5y=$\frac{1}{2}$(2x+4y),解得:x=3y,得出BF=15y,与勾股定理求出FG=5y,即可得出结论;
(3)由等腰直角三角形的性质得出∠ABD=45°,∠ADB=90°=∠AEB,证出A、B、D、E四点共圆,由圆周角定理得出∠DEG=∠ABD=45°即可.

解答 解:(1)∵∠BAC=90°,BF=13,AB=AC=12,
∴AF=$\sqrt{B{F}^{2}-A{B}^{2}}$=5,
∴CF=AC-AF=12-5=7,
∵D为BC中点,E为BF中点,
∴DE是△BCF的中位线,
∴DE=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{7}{2}$;
(2)FM+FG=$\frac{2}{3}$BF;理由如下:
∵F为AC中点,AB=AC,
∴AF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB,
∴tan∠AFB=$\frac{AB}{AF}$=2,
∵AG⊥BF,∠BAC=90°,
∴∠AEB=90°,∠BAE=∠AFB,
∴tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$=tan∠AFB=$\frac{AE}{EF}$=2,
设EF=x,则AE=2x,BE=4x,
∴BF=5x,
∵F为AC中点,M为CG的中点,
∴FM是△ACG的中位线,
∴FM∥AG,FM=$\frac{1}{2}$AG,
∴△BEG∽△BFM,
∴$\frac{EG}{FM}=\frac{BE}{BF}$=$\frac{4}{5}$,
设EG=4y,则FM=5y,
∴5y=$\frac{1}{2}$(2x+4y),
解得:x=3y,
∴BF=15y,FG=$\sqrt{E{F}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{(3y)^{2}+(4y)^{2}}$=5y,
∴FM+FG=10y=$\frac{2}{3}$×15y,
∴FM+FG=$\frac{2}{3}$BF;
(3)∠DEG的度数不会发生改变;理由如下:
∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC中点,
∴AD⊥BC,∠ABD=45°,
∴∠ADB=90°=∠AEB,
∴A、B、D、E四点共圆,
∴∠DEG=∠ABD=45°.

点评 本题是三角形综合题目,考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识;本题综合性强,有一定难度,熟练掌握等腰直角三角形的性质,运用勾股定理和证明三角形相似是解决问题的关键.

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