Question

如图，△ABC中D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连接AE．
求证：（1）ED=DA；
（2）∠EBA=∠EAB
（3）BE²=AD•AC．

Answer 1

分析：（1）由∠BDC=60°，CE⊥BD，求得∠ECD=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得CD=2ED，又由CD=2DA，即可证得ED=DA；
（2）由（1）可求得∠EAD=∠DEA=30°，又由∠BAD=45°，即可得∠EAB的度数，然后由∠BDC=∠DBA+∠BAD，求得∠DBA的度数，即可证得∠EAB=∠EBA；
（3）根据有两角对应相等的三角形相似，易证△AED∽△ACE，又由相似三角形的对应边成比例，即可证得BE²=AD•AC．

解答：证明：（1）∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
又∵∠BDC=60°，
∴∠ECD=30°，（1分）
∴CD=2ED，（1分）
∵CD=2DA，
∴ED=DA；（1分）

（2）∵ED=DA，
∴∠DEA=∠DAE，
∵∠EDC=60°，
∴∠EAD=∠DEA=30°，（1分）
∵∠BAD=45°，
∴∠EAB=15°，（1分）
又∠BDC=∠DBA+∠BAD，
∴∠DBA=15°，
∴∠EAB=∠EBA；（1分）

（3）∵∠EAB=∠EBA，
∴BE=AE，（1分）
∵∠AED=∠ACE，
∴△AED∽△ACE，（1分）
∴

AE

AC

=

AD

AE

，（1分）
∴AE²=AD•AC，
即BE²=AD•AC．（1分）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用与有两角对应相等的三角形相似，相似三角形的对应边成比例，直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半定理的应用．