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如图,直线y=2x+2与y轴交于A点,与反比例函数(x>0)的图象交于点M,过M作MH⊥x轴于点H,且tan∠AHO=2.
(1)求k的值;
(2)点N(a,1)是反比例函数(x>0)图象上的点,在x轴上是否存在点P,使得PM+PN最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)由y=2x+2可知A(0,2),即OA=2。
∵tan∠AHO=2,∴OH=1。
∵MH⊥x轴,∴点M的横坐标为1。
∵点M在直线y=2x+2上,
∴点M的纵坐标为4.即M(1,4)。
∵点M在上,∴k=1×4=4。
(2)存在。
∵点N(a,1)在反比例函数(x>0)上,
∴a=4.即点N的坐标为(4,1)。
过点N作N关于x轴的对称点N1,连接MN1,交x轴于P(如图所示)。

此时PM+PN最小。
∵N与N1关于x轴的对称,N点坐标为(4,1),∴N1的坐标为(4,﹣1)。
设直线MN1的解析式为y=kx+b。
解得
∴直线MN1的解析式为
令y=0,得x=
∴P点坐标为(,0)。

解析

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