Question

10．探究：如图1，四边形ABCD是矩形，E是CD中点，G是BC上一点，BG=CE，连接EG并延长交AB的延长线于点H，过点E作EH的垂线交AD于点F，求证：△BGH≌△DEF．
应用：如图2，四边形ABCD是菱形，∠D=60°，E、F分别是CD、AD上一点，以点E为旋转中心，将射线EF逆时针旋转120°，交BC于点G，交AB的延长线于点H，M是CD上一点，∠DFM=60°，FD=2cm，FE=3cm，BH=6cm，求HG的长度．

Answer 1

分析 探究：易证∠D=∠HBG=90°，BG=CE=DE，要证△BGH≌△DEF，只需证∠DFE=∠GEC=∠H即可；
应用：易证△DFM是等边三角形，可得FM=FD=2，∠DMF=60°，易得∠HBG=∠FME=120°，∠H=∠GEC=∠EFM，从而可得△HBG∽△FME，然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题．

解答 解：探究：∵E是CD中点，
∴ED=EC．
∵BG=CE，
∴ED=BG．
∵EF⊥EG，
∴∠HEF=90°，
∴∠DEF+∠CEG=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠HBG=90°，
∴∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠DFE=∠CEG．
∵AB∥CD，
∴∠CEG=∠H，
∴∠DFE=∠H，
在△BGH和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFE=∠H}\\{∠D=∠HBG}\\{ED=BG}\end{array}\right.$，
∴△BGH≌△DEF（AAS）；

应用：∵∠D=60°，∠DFM=60°，
∴△DFM是等边三角形，
∴FM=FD=2，∠DMF=60°，
∴∠FME=120°，
∴∠EFM+∠FEM=60°．
∵∠FEG=120°，
∴∠GEC+∠FEM=60°，
∴∠GEC=∠EFM．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=∠D=60°，AB∥CD，
∴∠HBC=120°，∠H=∠GEC，
∴∠HBG=∠FME=120°，∠H=∠EFM，
∴△HBG∽△FME，
∴$\frac{GH}{EF}$=$\frac{BH}{MF}$．
∵MF=2，FE=3，BH=6，
∴$\frac{GH}{3}$=$\frac{6}{2}$，
∴GH=9，
∴GH的长度为9cm．

点评 本题主要考查了矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证到△HBG∽△FME是解决应用的关键．