Question

如图1，把一张长方形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在E处，BE交AD于点F．
（1）求证：FB=FD；
（2）如图2，连接AE，求证：AE∥BD；
（3）如图3，延长BA，DE相交于点G，连接GF并延长交BD于点H，求证：GH垂直平分BD．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由折叠的性质可得到△ABD≌△EDB，那么∠ADB=∠EBD，所以BF=DF；
（2）根据长方形的性质可得和三角形内角和定理可得∠AEF=∠FBD，再根据平行线的判定即可求解；
（3）先SSS证明△ABD≌△EDB，再根据全等三角形的性质和垂直平分线的性质即可求解．

解答：证明（1）∵△BCD≌△BED，
∴∠DBC=∠EBD，
又∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠EBD，
∴BF=DF．

（2）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC=BE，
又∵FB=FD，
∴FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
又∵∠AFE=∠BFD，且2∠AEF+∠AFE=2∠FBD+∠BFD=180°，
∴∠AEF=∠FBD，
∴AE∥BD；

（3）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，
在△ABD与△EDB中，

AD=BE AB=DE BD=DB

∴△ABD≌△EDB（SSS），
∴∠ABD=∠EDB，
∴GB=GD，
又∵FB=FD，
∴GF是BD的垂直平分线，即GH垂直平分BD．

点评：本题考查了：
①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；
②全等三角形的判定和性质，等角对等边，三角形的内角和，平行线的判定求解．