Question

【题目】类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证： ．

（1）尝试探究：在图1中，由DP∥BQ得△ADP△ABQ（填“≌”或“∽”），则 = ， 同理可得 = ，从而 ．
（2）类比延伸：如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG、AF分别交DE于M、N两点，若AB=AC=1，则MN的长为 ．
（3）拓展迁移：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG、AF分别交于DE于M、N两点，AB＜AC，求证：MN2=DMEN．

Answer 1

【答案】
（1）S；
（2）
（3）解：证明：如图3，∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，

∴∠B=∠CEF，

又∵∠BGD=∠EFC，

∴△BGD∽△EFC，

∴ ，

∴DGEF=CFBG，

又∵DG=GF=EF，

∴GF2=CFBG，

由（1）得 = = ，

∴ × = × ，

∴（ ）2= × ，

∵GF2=CFBG，

∴MN2=DMEN．

【解析】（1）解：如图1，∵DP∥BQ， ∴△ADP∽△ABQ，
∴ = ，
同理可得△ACQ∽△APE，
∴ = ，
∴ = ．
所以答案是：∽，

2）解：如图2所示，作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高AQ= ，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF，
∴DE：BC=1：3，
又∵DE∥BC，
∴AD：AB=1：3，
∴AD= ，DE= ，
∵DE边上的高为 ，MN：GF= ： ，
∴MN： = ： ，
∴MN= ．
所以答案是：

【考点精析】通过灵活运用相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．