Question

12．在黄冈建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=$\left\{{\begin{array}{l}{40-x（25≤x≤30）}\\{25-0.5x（30＜x≤35）}\end{array}}\right.$（年获利=年销售收入-生产成本-投资成本）
（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？
（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款 由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．

Answer 1

分析 （1）因为25＜28＜30，所以把x=28代入y=40-x即可求出该产品的年销售量为多少万件；
（2）由（1）中y于x的函数关系式和根据年获利=年销售收入-生产成本-投资成本，得到w和x的二次函数关系，再有x的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利还是亏损，若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？
（3）由题目的条件得到w和x在自变量x的不同取值范围的函数关系式，再分别当w≥67.5，求出对应x的范围，结合y于x的关系中的x取值范围即可确定此时销售单价的范围．

解答 解：（1）∵25＜28＜30，y=$\left\{{\begin{array}{l}{40-x（25≤x≤30）}\\{25-0.5x（30＜x≤35）}\end{array}}\right.$，
∴把x=28代入y=40-x得，
∴y=12（万件），
答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件；

（2）①当 25≤x≤30时，W=（40-x）（x-20）-25-100=-x²+60x-925=-（x-30）²-25，
故当x=30时，W最大为-25，即公司最少亏损25万；
②当30＜x≤35时，W=（25-0.5x）（x-20）-25-100
=-$\frac{1}{2}$x²+35x-625=-$\frac{1}{2}$（x-35）²-12.5
故当x=35时，W最大为-12.5，即公司最少亏损12.5万；
对比①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；
答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；

（3）①当 25≤x≤30时，W=（40-x）（x-20-1）-12.5-10=-x²+61x-862.5，
令W=67.5，则-x²+61x-862.5=67.5，
化简得：x²-61x+930=0，
解得：x₁=31；x₂=30，
此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，x=30；
②当30＜x≤35时，W=（25-0.5x）（x-20-1）-12.5-10=-0.5x²+35.5x-547.5，
令W=67.5，则-0.5x²+35.5x-547.5=67.5，
化简得：x²-71x+1230=0，
解得：x₁=30；x₂=41，
此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30＜x≤35，
答：到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是30≤x≤35．

点评 本题主要考查二次函数在实际中应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要弄懂题意，确定变量，建立函数模型解答，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值．