Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过A（-3，0），B（1，0），C（0，-2），点D在y轴的负半轴上，且点D的坐标为（0，-9），
①求二次函数的解析式．
②点E在①中的抛物线上，四边形ABCE是以AB为一底边的梯形，求点E的坐标．
③在①、②成立的条件下，过点E作直线EF⊥OA，垂足为F，直线EF与线段AD相交于点G，在抛物线上是否存在点P，使直线PG与y轴相交所成的锐角等于梯形ABCE的底角？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：①已知函数的图象经过A，B，C三点，把三点的坐标代入解析式就可以得到一个三元一次方程组，就可以求出函数的解析式；
②由题意和图象可知CE∥AB，可求的E点的纵坐标为-2，把-1代入y=

2

3

x²+

4

3

x-2．可求的点E横坐标．
③首先求得点F的坐标，根据Rt△AFG∽Rt△AOD，则

AF

AO

=

FG

OD

=

1

3

，求得G（-2，-3），H（0，-3），根据Rt△AFE≌Rt△BOC，所以AE=BC，所以梯形ABCE是等腰梯形，所以∠BAE=∠ABC．当∠GMH=∠ABC，可以推知Rt△GHM≌Rt△COB，所以HM=OB=1．然后分类讨论：点M在线段OH上和点M在线段HD上，设出直线PG的解析式并求出来，根据P既在PG上，又在抛物线上列出方程组，如果有解，就可以求得点P的坐标，同时说明点P的存在；如果方程组无解，说明点P不存在．

解答：解：①y=ax²+bx+c的图象经过A（-3，0），B（1，0），C（0，-2），三点，

0=9a-3b+c 0=a+b+c -2=c

解得：a=

2

3

，b=

4

3

，c=-2．
∴y=

2

3

x²+

4

3

x-2．

②由题意和图象可知CE∥AB，
∴E点的纵坐标为-2，
∴-2=

2

3

x²+

4

3

x-2．
即x²+2x=0，
∴x₁=0（舍），x₂=-2，
∴E点的坐标为（-2，-2）；
       
③答：存在．
设直线PG与y轴交于点M，过点G作GH⊥OD于H．
∵点G在AD上，GF∥OD，E（-2，-2），
∴F（-2，0）．
又∵∠FAG=∠OAD，∠AFG=∠AOD=90°，
∴Rt△AFG∽Rt△AOD，
∴

AF

AO

=

FG

OD

=

1

3

．
又∵OD=9，
∴FG=3，
∴G（-2，-3），H（0，-3）．
∵AF=BO=1，FE=OC=2，
易证Rt△AFE≌Rt△BOC，
∴AE=BC，
∴梯形ABCE是等腰梯形，
∴∠BAE=∠ABC．当∠GMH=∠ABC，可以推知Rt△GHM≌Rt△COB，
∴HM=OB=1．
①当点M在线段OH上时，则M（0，-2）．设P（x₁，y₁），直线PG的解析式为y=k₁x+b₁，则

-2k1+b1=-3 b1=-2

，
解得，k₁=

1

2

，
则y=

1

2

x-2．
∵点P既在PG上，又在抛物线上，
∴

y1= 1 2 x1-2 y1= 2 3 x 2 1 + 4 3 x1-2

，
解得，

x1=0 y1=-2

或

x1=- 5 4 y1=- 21 8

，
则P（0，-2）或（-

5

4

，-

21

8

）；
②当点P在线段HD上时，则M（0，-4）．
设P（x₂，y₂），易求直线PG的解析式为y=

1

2

x-4．
∵点P既在PG上，又在抛物线上，
∴

y2= 1 2 x2-4 y2= 2 3 x 2 2 + 4 3 x2-2

，
∴4

x

2 2

+11x₂+12=0，
∵△=-71，∴点P不存在．
综上所述，抛物线上存在符合条件的点P有2个，P（0，-2）或（-

5

4

，-

21

8

）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．综合性强，能力要求极高．