Question

13．已知，如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于D，E两点，过B点的切线交OE的延长线于点F．下列结论：
①OE∥AC；
②两段劣弧$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$；
③FD与⊙O相切；
④S_△BDE：S_△BAC=1：4．
其中一定正确的有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由等腰三角形性质得到∠OEB=∠ABC=∠ACB，从而可得OE∥AC；
②连接OD，由平行线的性质和等腰三角形的性质证得∠BOE=∠EOD，从而得到$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$；
③由SAS证得△OBF≌△ODF，即可得到∠OBF=∠ODF．根据切线的性质可得∠OBF=90°，则有∠ODF=90°，即可得到DF与⊙O相切；
④由OE∥AC，得出△BOE∽△BAC，根据相似三角形的性质即可得到$\frac{{S}_{△BOE}}{{S}_{△BAC}}$=（$\frac{BO}{BA}$）²=$\frac{1}{4}$，△BDE的面积≠△BOE的面积，得出④不一定正确，即可得出结论．

解答 解：①∵AB=AC，OB=OE，
∴∠ABC=∠ACB，∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠ACB，
∴OE∥AC，
故①正确；
②连接OD，如图所示：
∵OE∥AC，
∴∠BOE=∠OAD，∠EOD=∠ADO．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠BOE=∠EOD，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$，
故②正确；
③在△OBF和△ODF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{∠BOF=∠DOF}\\{OF=OF}\end{array}\right.$，
∴△OBF≌△ODF（SAS），
∴∠OBF=∠ODF，
∵BF与⊙O相切于点B，
∴∠OBF=90°，
∴∠ODF=90°，
∴DF与⊙O相切，
故③正确；
④∵OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴$\frac{{S}_{△BOE}}{{S}_{△BAC}}$=（$\frac{BO}{BA}$）²=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，而△BDE的面积≠△BOE的面积，
故④不正确；正确的有3个．
故选C．

点评 本题主要考查了圆的切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识；本题有一定难度，覆盖的知识面比较广．