Question

如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q的⊙O的切线交OA的延长线于R．求证：RP=RQ．

Answer 1

分析：首先连接OQ，由切线的性质，可得∴∠OQB+∠BQR=90°，又由OA⊥OB，可得∠OPB+∠B=90°，继而可证得∠PQR=∠BPO=∠RPQ，则可证得RP=RQ．

解答：证明：连接OQ，
∵RQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥QR，
∴∠OQB+∠BQR=90°．
∵OA⊥OB，
∴∠OPB+∠B=90°．
又∵OB=OQ，
∴∠OQB=∠B．
∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ．
∴RP=RQ．

点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及垂直的定义．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．