Question

19．某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造的截面示意图．已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米，原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°，原坡脚B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变，使A、E两点间距离为2米，使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°．若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈$\frac{3}{5}$，tan37°≈$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 在Rt△ABC中通过解直角三角形可求出BC的长度，在Rt△EFG中通过解直角三角形可求出GF的长度，由EG=AC=15m、AC⊥BC、EG⊥BC可得出四边形EGCA是矩形，进而可得出GC的长度，再根据BF=GF-GC-BC、FD=BD-BF即可求出FD的长度，由FD的长度小于2.5米可得出施工方提供的设计方案不满足安全要求．

解答 解：施工方提供的设计方案不满足安全要求，理由如下：
在Rt△ABC中，AC=15m，∠ABC=45°，
∴BC=$\frac{AC}{tan45°}$=15m．
在Rt△EFG中，EG=15m，∠EFG=37°，
∴GF=$\frac{EG}{tan37°}$≈$\frac{15}{\frac{3}{4}}$=20m．
∵EG=AC=15m，AC⊥BC，EG⊥BC，
∴EG∥AC，
∴四边形EGCA是矩形，
∴GC=EA=2m，
∴BF=GF-GC-BC≈20-15-2=3m．
∵BD=5m，
∴FD=BD-BF≈5-3=2＜2.5，
∴施工方提供的设计方案不满足安全要求．

点评 本题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，通过解直角三角形求出BC、GF的长度是解题的关键．