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已知一次函数y=
3
x-2的图象经过(a,b),(a+1,b+k)两点,并且与反比例函数y=
k
x
的图象交于第一象限内一点A.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求点A的坐标;
(3)若射线OA与x轴的夹角为30°请问:在x轴上是否存在点P,使△AOP为等腰三角形?若存在,直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)由一次函数y=
3
x-2的图象经过(a,b),(a+1,b+k)两点,即可方程组:
b=
3
a-2                ①
b+k=
3
(a+1)-2   ②
,解此方程组,即可求得k的值,即可求得反比例函数的解析式;
(2)联立一次函数与反比例函数的解析式,得:
y=
3
x-2
y=
3
x
,解此方程组,即可求得点A的坐标;
(3)分别从OP=OA,OA=AP,AP=AP去分析求解,结合图形,即可求得符合条件的点P的坐标.
解答:解:(1)∵一次函数y=
3
x-2的图象经过(a,b),(a+1,b+k)两点,
b=
3
a-2                ①
b+k=
3
(a+1)-2   ②

②-①得:k=
3

∴反比例函数的解析式为:y=
3
x


(2)联立一次函数与反比例函数的解析式,得:
y=
3
x-2
y=
3
x

解得:
x=
3
y=1
x=-
3
3
y=-3

∵点A在第一象限内,
∴点A的坐标为(
3
,1);

(3)存在.
过点A作AB⊥x轴于B,
∵点A(
3
,1),
∴OA=
AB2+OB2
=2,
如图1:当OP=OA时,OP=2,
则P1(-2,0),P2(2,0);
当OA=PA时,OB=BP=
3

∴OP=OB+BP=2
3

∴P3(2
3
,0);
如图2:取OA的中点C,过点C作PC⊥OA,交x轴于P,
则OP=AP,
∵OA=2,
∴OC=
1
2
OA=1,
∵∠AOP=30°,
∴OP=
OC
cos∠AOP
=
1
3
2
=
2
3
3

∴P4
2
3
3
,0).
综上,符合条件的点P的坐标为:P1(-2,0),P2(2,0),P3(2
3
,0),P4
2
3
3
,0).
点评:此题属于反比例函数的综合题,考查了待定系数求函数解析式、等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质.此题综合性很强,难度较大,注意掌握数形结合思想、函数思想、分类讨论思想与方程思想的应用,注意掌握辅助线的作法.
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,b=
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x
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