Question

10．已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，点P是AB边的中点，经过点P的直线与另一边交于点D，若直线PD截△ABC所得到的三角形与△ABC相似，则PD=3或4或$\frac{15}{4}$cm．

Answer 1

分析 首先利用勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，再由相似三角形的判定方法可知当PD分别和AC，BC平行和AB垂直时则线PD截△ABC所得到的三角形与△ABC相似，由相似三角形的性质即可求出PD的长．

解答 解：如图所示：
∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm
∴AB²=BC²+AC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
过点P分别作AC，BC的平行线，过点P作PD′⊥AB交AC于D′
则直线PD截△ABC所得到的三角形与△ABC相似，
∵点P是AB边的中点，
∴AP=BP=5cm，
∴PD″=$\frac{1}{2}$BC=3cm，PD=$\frac{1}{2}$AC=4cm，
∵PA：AC=PD′：BC，
∴5：8=PD′：6，
∴PD′=$\frac{15}{4}$cm，
综上可知PD的长为3cm或4cm或$\frac{15}{4}$cm，
故答案为：3或4或$\frac{15}{4}$cm．

点评 此题考查了相似三角形的性质与直角三角形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用与数形结合思想的应用．