Question

4．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，D、E是AB边上的两个动点，满足∠DCE=45°．
（1）如图②，把△ADC绕着点C顺时针旋转90°，得到△BKC，连结EK．
①求证：△DCE≌△KCE．
②求证：DE²=AD²+BE²．
③思考与探究：当点D从点A向AB的中点运动的过程中，请尝试写出DE长度的变化趋势当D从A到D时，DE越来越小，再继续运动到中点时，越来越大；；
并直接写出DE长度的最大值或最小值DE_最大值=1，DE_最小值=2$\sqrt{2}$-2（标明最大值或最小值）．
（2）如图③，若△CDE的外接圆⊙O分别交AC，BC于点F、G，求证：CF：CG=BE：AD．

Answer 1

分析 （1）①由旋转得：CD=CK，∠ACD=∠BCK，证明∠KCE=∠DCE=45°，根据SAS证明：△DCE≌△KCE；
②先求∠KBE=45°+45°=90°，在Rt△KBE中，利用勾股定理可得结论；
③如图2，本题可以看作是周长一定，即直角△EBK的周长为2，斜边DE的变化趋势，发现根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可知：DE的大小取决于直角△EBK斜边中线的大小，当直角△EBK是等腰直角三角形（设两直角边分别为a、b时，斜边为$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，因为a²+b²≥2ab，当a=b时，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$有最小值）时，中线最短，由此计算DE的最小值，当D与A重合或D与AB的中点重合时，DE最大，最大值是1；
（2）如图3，同①作辅助线，证明△FCG∽△EBK，列比例式得$\frac{CF}{CG}=\frac{BE}{BK}$，由①得：△ACD≌△BCK，
AD=BK，所以CF：CG=BE：AD．

解答 证明：（1）①如图1，由旋转得：△ACD≌△BCK，
∴CD=CK，∠ACD=∠BCK，
∵∠DCE=45°，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°-45°=45°，
∴∠BCK+∠BCE=45°，
即∠KCE=45°，
∴∠KCE=∠DCE，
∵CE=CE，
∴△DCE≌△KCE（SAS）；
②如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵△DCE≌△KCE，
∴DE=EK，∠KBC=∠A=45°，KB=AD，
∴∠KBE=45°+45°=90°，
在Rt△KBE中，KE²=BE²+KB²，
∴DE²=AD²+BE²；
③∵∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
设AD=x，DE=y，则BE=2-x-y，
当点D从点A向AB的中点运动的过程中，0≤y≤1，0≤x≤1，AD=BE时，DE最小，如图2，BE=BK=x，
则x=2-x-y，
y=2-2x，
∵KE²=BE²+KB²，
∴y²=x²+x²，
（2-2x）²=2x²，
x²-4x+2=0，
解得：x₁=2+$\sqrt{2}$（不符合题意，舍去），x₂=2-$\sqrt{2}$，
∴y=2-2（2-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-2，
即DE的最小值是：2$\sqrt{2}$-2，
当D与A重合或D与AB的中点重合时，DE最大，最大值是1；
∴DE长度的变化趋势是：当D从A到D时，DE越来越小，再继续运动到中点时，越来越大；
故答案为：当D从A到D时，DE越来越小，再继续运动到中点时，越来越大；DE_最大值=1，$D{E}_{最小值}=2\sqrt{2}-2$；
（2）如图3，把△ADC绕着点C顺时针旋转90°，得到△BKC，连结EK，EG，
∵D、C、E、G四点共圆，
∴∠EGB=∠CDE，
∵∠DCE=∠EBC=45°，
在△CDE和△GEB中，∴∠CED=∠GEB，
由①得：△CDE≌△CKE，
∴∠CED=∠CEK，
∴∠CEK=∠GEB，
∴∠CEK-∠GEK=∠GEB-∠GEK，
即∠CEG=∠KEB，
∵∠CEG=∠CFG，
∴∠CFG=∠KEB，
∵∠ACB=∠EBK=90°，
∴△FCG∽△EBK，
∴$\frac{CF}{CG}=\frac{BE}{BK}$，
由①得：△ACD≌△BCK，
∴AD=BK，
∴CF：CG=BE：AD．

点评 本题是圆的综合题，考查了四点共圆、三角形相似、全等的性质和判定、旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定，本题的关键是利用45°这一已知条件，将一三角形旋转90°，构建另一三角形全等，从而解决问题，并与圆相结合，求出对应线段的比．