Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．
（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；
（2）当DE=8时，求线段EF的长；
（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=

1

2

AO=5，根据弧长公式求解；
（2）连接OD，由垂直平分线的性质得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依题意证明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；
（3）存在．当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时，分为①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②当交点E在点C的右侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③当交点E在点O的左侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三种情况，分别求E点坐标．

解答：解：（1）连接BC，
∵A（10，0），∴OA=10，CA=5，
∵∠AOB=30°，
∴∠ACB=2∠AOB=60°，
∴弧AB的长=

60×π×5

180

=

5π

3

；（4分）

（2）①若D在第一象限，
连接OD，
∵OA是⊙C直径，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分线，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，
OE=

OD2-DE2

=

102-82

=6，
∴AE=AO-OE=10-6=4，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴

AE

DE

=

EF

OE

，即

4

8

=

EF

6

，
∴EF=3；（4分）
②若D在第二象限，
连接OD，
∵OA是⊙C直径，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分线，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，
OE=

OD2-DE2

=

102-82

=6，
∴AE=AO+OE=10+6=16，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴

AE

DE

=

EF

OE

，即

16

8

=

EF

6

，
∴EF=12；
∴EF=3或12；

（3）设OE=x，
①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角
形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，
当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC
中点，即OE=

5

2

，
∴E₁（

5

2

，0）；
当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x，AE=10-x，
∴CF∥AB，有CF=

1

2

AB，
∵△ECF∽△EAD，
∴

CE

AE

=

CF

AD

，即

5-x

10-x

=

1

4

，解得：x=

10

3

，
∴E₂（

10

3

，0）；

②当交点E在点C的右侧时，
∵∠ECF＞∠BOA，
∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，
连接BE，
∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，
∴BE=AB=BD，
∴∠BEA=∠BAO，
∴∠BEA=∠ECF，
∴CF∥BE，
∴

CF

BE

=

OC

OE

，
∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，
∴△CEF∽△AED，
∴

CF

AD

=

CE

AE

，
而AD=2BE，
∴

OC

2OE

=

CE

AE

，
即

5

2x

=

x-5

10-x

，解得x1=

5+5 17

4

，x2=

5-5 17

4

＜0（舍去），
∴E₃（

5+5 17

4

，0）；

③当交点E在点O的左侧时，
∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF．
∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO
连接BE，得BE=

1

2

AD=AB，∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA，
∴CF∥BE，
∴

CF

BE

=

OC

OE

，
又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，
∴△CEF∽△AED，
∴

CE

AE

=

CF

AD

，
而AD=2BE，
∴

OC

2OE

=

CE

AE

，
∴

5

2x

=

x+5

10+x

，
解得x₁=

-5+5 17

4

，x₂=

-5-5 17

4

（舍去），
∵点E在x轴负半轴上，
∴E₄（

5-5 17

4

，0），
综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，
此时点E坐标为：E₁（

5

2

，0）、E₂（

10

3

，0）、E₃（

5+5 17

4

，0）、E₄（

5-5 17

4

，0）．（4分）

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，圆周角定理，弧长公式的运用．关键是理解题意，根据基本条件，图形的性质，分类求解．