Question

4．如图，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥CD于点E，tan∠BCE=$\frac{3}{2}$，点E的坐标为（2，$\frac{3}{2}$），连接AE．
（1）求k的值；
（2）求△ACE的面积．

Answer 1

分析 （1）由tan∠BCE=$\frac{3}{2}$和E的坐标可知CE的长度，从而求出C的坐标，进而求出k的值．
（2）根据点B的坐标与点C的坐标即可求出直线AC的解析式，从而可求出A的坐标，所以可知AD的长度，从而可求出△ACE的面积；

解答 解：（1）∵tan∠BCE=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{BE}{CE}$=$\frac{3}{2}$，
∵E（2，$\frac{3}{2}$），
∴BE=2，ED=$\frac{3}{2}$，
∴CE=$\frac{4}{3}$，
∴CD=CE+ED=$\frac{4}{3}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{17}{6}$，
∴C的坐标为：（2，$\frac{17}{6}$），
将C（2，$\frac{17}{6}$）代入y=$\frac{k}{x}$，
∴k=2×$\frac{17}{6}$=$\frac{17}{3}$，

（2）设直线AC的解析式：y=mx+n，
∵E（2，$\frac{3}{2}$），
∴B（0，2），
将B（0，2）和C（2，$\frac{17}{6}$）代入y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=n}\\{\frac{17}{6}=2m+n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{5}{12}}\\{n=2}\end{array}\right.$
∴直线BC的解析式为：y=$\frac{5}{12}$x+2，
令y=0代入y=$\frac{5}{12}$x+2，
∴x=-$\frac{24}{5}$，
∴A（-$\frac{24}{5}$，0），
∴AD=2+$\frac{24}{5}$=$\frac{34}{5}$，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$CE•AD=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{34}{5}$=$\frac{72}{15}$

点评 本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是根据待定系数法求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．