Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．
（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；
（2）求证：2ADNF=DEDM．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，

∴EC=DF= ×4=2，

由勾股定理得，DE= =2 ，

∵点F是CD的中点，点N为DE的中点，

∴DN= DE= ×2 = ，

NF= EC= ×2=1，

∴△DNF的周长=1+ +2=3+ ；

在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF= = =2 ，

所以，sin∠DAF= = =

（2）证明：在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，

∵∠DAF+∠AFD=90°，

∴∠CDE+∠AFD=90°，

∴AF⊥DE，

∵点N、F分别是DE、CD的中点，

∴NF是△CDE的中位线，

∴DF=EC=2NF，

∵cos∠DAF= ，

cos∠CDE= ，

∴ ，

∴2ADNF=DEDM．

【解析】（1）根据线段中点定义求出EC=DF=2，再利用勾股定理列式求出DE，然后三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出NF，再求出DN，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解；利用勾股定理列式求出AF，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解；（2）利用“边角边”证明△ADF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=DE，全等三角形对应角相等可得∠DAF=∠CDE，再求出AF⊥DE，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF=EC=2NF，然后根据∠DAF和∠CDE的余弦列式整理即可得证．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正方形的性质(正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形)，还要掌握相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)的相关知识才是答题的关键．