Question

已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点，求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）BD•tan∠AED=AD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）先根据等角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，再根据等腰直角三角形的性质得AC=BC，EC=DC，于是可根据“SAS”判断△ACE≌△BCD；
（2）由△ACE≌△BCD得到EA=DB，∠EAC=∠B=45°，则∠EAD=90°，在直角三角形EAD中，根据正切的定义得到tan∠AED=

AD

EA

，利用EA=BD即可得到结论．

解答：证明：（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
又∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形
∴AC=BC，EC=DC，
在△ACE和△BCD，

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴EA=DB，∠EAC=∠B=45°，
∴∠EAD+∠BAC=90°，
即∠EAD=90°．
在直角三角形EAD中，
∵tan∠AED=

AD

EA

，
而EA=BD，
∴BD•tan∠AED=AD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．