Question

【题目】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_____．

Answer 1

【答案】8

【解析】

连接AD交EF与点M′，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM+DM＝AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．

解：连接AD交EF与点M′，连结AM．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC＝BCAD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，

∵EF是线段AB的垂直平分线，

∴AM＝BM．

∴BM+MD＝MD+AM．

∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值6．

∴△BDM的周长的最小值为DB+AD＝2+6＝8．