Question

（2009•揭东县模拟）如图，已知两点A（-1，0）、B（4，0）在x轴上，以AB为直径的半⊙P交y轴于点C．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设AC的垂直平分线交OC于D，连接AD并延长AD交半圆P于点E，弧AC与弧CE相等吗？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）本题的关键是求出C点坐标，已知了A、B的坐标，即可求得OA、OB的长，连接BC，在直角三角形ABC中，根据射影定理即可求出OC的长，也就得出了C点坐标．然后根据A、B、C三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）相等．首先将另一半圆补全，设圆P与y轴负半轴的交点为F，根据垂径定理可得出弧AC=弧AF，由于D点在线段AC的垂直平分线上，那么AD=CD，即∠CAE=∠ACF，由此可得出弧AF=弧CE，将等量值置换后可得弧AC=弧CE．
解答：解：
（1）易知：OA=1，OB=4，连接BC，在直角三角形ABC中，根据射影定理，可得：OC²=OA•OB=4，
∴OC=2，即C（0，2）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4）
已知抛物线过C（0，2），
则有：a（0+1）（0-4）=2，a=-
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+2．

（2）相等；
证明：如图：设⊙P与y轴负半轴交于点F，根据垂径定理可得：弧AF=弧AC．
∵D在线段AC的垂直平分线上；
∴AD=CD
∴∠CAD=∠ACD
∴弧AF=弧CE
∴弧AC=弧CE．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定、垂径定理、圆周角定理等知识．