Question

3．如图，已知抛物线y=ax²-4a（a＞0）与x轴相交于A，B两点，点P是抛物线上一点，且PB=AB，∠PBA=120°．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设点M（m，n）为抛物线上的一个动点，当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B两点坐标，然后过点P作PC⊥x轴于点C，根据∠PBA=120°，PB=AB，分别求出BC和PC的长度即可得出点P的坐标，最后将点P的坐标代入二次函数解析式即；
（2）根据题意可知：n＜0，然后对m的值进行分类讨论，当-2≤m≤0时，|m|=-m；当0＜m≤2时，|m|=m，列出函数关系式即可求得|m|+|n|的最大值．

解答 解：（1）如图1，令y=0代入y=ax²-4a，
∴0=ax²-4a，
∵a＞0，
∴x²-4=0，
∴x=±2，
∴A（-2，0），B（2，0），
∴AB=4，
过点P作PC⊥x轴于点C，
∴∠PBC=180°-∠PBA=60°，
∵PB=AB=4，
∴cos∠PBC=$\frac{BC}{PB}$，
∴BC=2，
由勾股定理可求得：PC=2$\sqrt{3}$，
∵OC=OB+BC=4，
∴P（4，2$\sqrt{3}$），
把P（4，2$\sqrt{3}$）代入y=ax²-4a，
∴2$\sqrt{3}$=16a-4a，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴抛物线解析式为；y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（2）当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，
∴-2≤m≤2，n＜0，
当-2≤m≤0时，
∴|m|+|n|=-m-n=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²-m+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（m+$\sqrt{3}$）²+$\frac{7\sqrt{3}}{6}$，
当m=-$\sqrt{3}$时，
∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为$\frac{7\sqrt{3}}{6}$，
此时，M的坐标为（-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$），
当0＜m≤2时，
∴|m|+|n|=m-n=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²+m+$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（m-$\sqrt{3}$）²+$\frac{7\sqrt{3}}{6}$，
当m=$\sqrt{3}$时，
∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为$\frac{7\sqrt{3}}{6}$，
此时，M的坐标为（$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$），
综上所述，当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，M的坐标为（$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）或（-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）时，|m|+|n|的最大值为$\frac{7}{6}$$\sqrt{3}$．

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，三角形面积公式，二次函数最值等知识，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数的性质．