Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，以AD为斜边作等腰直角△AED，连结BE、EC．试判断线段BE和EC的数量关系和位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性质得出AE=DE，∠EAD=∠EDA=45°，得出∠CDE=135°，证出∠BAE=∠CDE，再证出AB=DC，由SAS证明△BAE≌△CDE，得出BE=EC，∠BEA=∠CED，证出∠CEB=90°，即可得出BE⊥EC．

解答 解：BE=EC，BE⊥EC；理由如下：
∵△AED是等腰直角三角形，
∴AED=90°，AE=DE，∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠CDE=135°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE=135°，
∴∠BAE=∠CDE，
∵点D是AC的中点，
∴AC=2DC，
∵AC=2AB，
∴AB=DC，
在△BAE和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}&{\;}\\{∠BAE=∠CDE}&{\;}\\{AB=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴BE=EC，∠BEA=∠CED，
∴∠CED+∠BED=∠BEA+∠BED=∠AED=90°，
即∠CEB=90°，
∴BE⊥EC．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线的证明；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．